Automatización y Control de Sistemas Dinámicos
Laboratorio: Entrada 3

Simplifique el diagrama de bloques que aparece en la imagen y obtenga la función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s).

El siguiente diagrama de bloques es el original del problema, y mediante reglas del álgebra de bloques iré simplificando paso por paso el diagrama completo hasta dejar un solo bloque con la función de transferencia completa.

Teoría básica de Diagrama de Bloques

Un sistema de control suele estar compuesto de varios componentes, y cada uno de estos componentes lleva acabo una función. Para representar un sistema de control usamos un diagrama de bloques.

El diagrama de bloques es una representación gráfica donde podemos ver la relaciones que existen entre un componente y otro. Contiene información del comportamiento dinámico, pero no de la construcción física del sistema.

En el diagrama de bloques tenemos los llamados bloques funcionales donde se coloca algún símbolo para representar alguna función matemática dentro del sistema.

Tomando en cuenta el diagrama presentado al inicio podemos observar algunas funciones denominadas G y también algunas H, que suelen ser funciones de transferencia, para convertir la salida de datos, de alguna unidad a otra.

Las flechas indican hacia donde va el flujo, y se les conoce como señales.

Los círculos con signos positivos (+) y negativos (-), son puntos de suma y el lugar donde una línea se divide en más de una flecha se llama punto de ramificación.

Un diagrama de bloques con varios lazos de retroalimentación se puede simplificar mediante un reordenamiento de los bloques mediante reglas del álgebra de diagramas de bloque.

"Al simplificar un diagrama de bloques:
1. El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directa debe ser el mismo.
2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo." [1]

En cuanto a las reglas del álgebra de diagramas de bloque, les dejo un PDF donde están todas las reglas necesarias para simplificar un diagrama como el que les mostré al inicio.

Tabla de Diagramas de Bloque

Simplificación de Diagrama de Bloques

Tenemos el diagrama de bloques como en la imagen al inicio de esta publicación. Es más fácil ir simplificando desde las partes más internas del diagrama.

La parte que tenemos encerrada en un cuadro rojo no tendrá un cambio algebraico, solo será un movimiento hacia la derecha, cambiando de orden con su vecino próximo. Esto no afecta en absoluto al sistema, ya que en los dos puntos de suma tenemos entrada de datos con signo negativo, y si se hace primero uno u otro no importa siempre y cuando sea antes del bloque G2.

La parte que si sufre un cambio es la encerrada en el círculo rojo. Ahí estamos cambiando la línea de entrada de H1, de antes de G2, a después de G2.

Para este cambio podemos demostrar mediante álgebra que no se ha desestabilizado el sistema.

Podemos ver que después del cambio, la salida de la flecha en ese punto será la misma que antes, solo que escrita de diferente forma.

En la siguiente imagen podemos ver ya los cambios plasmados en el diagrama de bloques. Pero aún nos falta seguir simplificando.

Ahora tenemos marcadas otras dos secciones de nuestro diagrama que vamos a simplificar, mediante las reglas proporcionadas en las tablas de las reglas para diagrama de bloques.

El recuadro rojo, se hace una unión entre nuestra G2 y H2, mientras que en el recuadro naranja tenemos una reducción de elementos.

Veamos como queda esta simplificación en la siguiente imagen. Y como podemos ver el diagrama poco a poco ha sido reducido.

Si notaron en este caso, el punto de suma que se había encerrado en el recuadro rojo, lo que se tiene es un signo negativo, y al aplicarlo en el bloque pasan los elementos con signo positivo. Esto se explica a detalle en el libro, y pasa porque en realidad el denominador es 1-(la sumatoria de los elementos), donde los elementos tienen signo negativo porque así lo marca el punto de suma, entonces al multiplicar este signo negativo por los elementos también con signo negativo, todos pasan a ser positivos en la función del bloque.

La siguiente parte más fácil de simplificar es la que tenemos en serie, y tenemos marcada en un rectángulo rojo en la siguiente imagen.

Cuando se tienen elementos en serie, tal y como en nuestro caso, las reglas nos dicen que hay que hacer una multiplicación de los elementos.

Este resultado lo colocamos en un bloque completo y el diagrama queda como se muestra a continuación.

Ahora vamos a simplificar esta sección marcada en rojo. Tenemos una retroalimentación del bloque grande y que pasa por la función de transferencia H3.

Para esto, según la reglas establecida, tenemos que dividir el bloque que tenemos de la simplificación anterior, entre 1 más la H3 que multiplica a ese mismo bloque. Veamos como se hace esta operación.

Y después de aplicar este cambio nos queda el siguiente diagrama.

La sección marcada con rojo, como en un caso anterior, se encuentra en serie, lo que implica una multiplicación de los dos bloques.

Como el bloque de G1 no tiene denominador, solo se multiplica este término en el numerador del siguiente bloque, y nos debe de quedar como sigue.

Y solo falta simplificar el último punto de suma, donde la misma salida retroalimenta de nuevo al sistema. Esta parte es simple, ya que las reglas de diagramas de bloque muestran que para esta última sección hacemos que el numerador del bloque, se sume al denominador.

Después de esto nuestro diagrama de bloques queda simplificado de la siguiente manera.