Transformada de Laplace

Automatización y Control de Sistemas Dinámicos
Laboratorio: Entrada 2

En esta semana tuvimos un repaso de las transformadas de Laplace, así que para la segunda publicación de laboratorio, seleccionamos un problema del libro de Control de Sistemas Dinámicos, evidentemente relacionado con las transformadas de Laplace, y la tarea es contestarlo mediante definición de la transformada.

Como en mi problema tenía dos incisos, aproveche de hacer uno con la definición de la transformada de Laplace y el segundo un poco más directo mediante la ayuda de un formulario, y que aún así era necesario hacer algunos pasos extras por tratarse de un problema donde se tenía que utilizar la derivada de la función de F(s), para poder aplicarlo a la fórmula.

Al final se encuentra el documento que realicé para esta publicación, ya que ahí se puede ver un poco más claro la explicación y la secuencia de pasos.

Pero primero veamos como se define la transformada y después pasamos al problema resuelto.

Definición de Transformada de Laplace

"Sea f una función definida para t>= 0. Entonces la integral

se llama Transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una función de s. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver. Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla." [1]

Problema 1

Obtenga la transformada de la siguiente función.

Para empezar necesitamos pasar la función dada a una función más simple con la que podamos trabajar a lo largo del problema. Para esto tenemos una identidad trigonométrica que no ayudará a simplificar.

Vemos que lo que queda del lado derecho es la estructura de la función que enuncia el problema dado, veamos como queda al sustituir la u por nuestro wt.

Ahora podemos usar la parte izquierda de la función ya que es lo mismo que trabajar con la parte derecha, pero esta nos facilitará las cosas.

Y ahora veamos la definición de la Transformada de Laplace, que ya había mencionado unos párrafos más arriba.

Esta nos dice que la integral de cero a infinito del exponente e elevado a la -st y que multiplica a la función F(t), nos da como resultado la transformada de Laplace.

En los pasos anteriores podemos notar como la función que tenemos como F(t) se sustituye en la definición de la transformada. Luego se saca el 1/2 fuera de la integral por ser términos constantes, y luego procedemos a obtener la integral.

Para esto hacemos uso de la siguiente.

Y que en términos de nuestra función nos queda lo siguiente.

Ahora ya podemos sustituir los valores de b y 0.

La primer parte se elimina totalmente con solo saber que e elevado al infinito nos resulta cero, y toda esa parte se cancela. Solo nos queda por simplificar la otra parte.

Ya una vez simplificado todo lo posible podemos concluir con el siguiente resultado.

Nota: En el documento anexado al final, podrán ver como se resolvió también mediante la fórmula propuesta en un formulario.

Para corroborar el resultado obtenido, se probó con Wolfram Alpha. El resultado fue el mismo y además nos muestran una gráfica de la función resultante.

Problema 2

Ahora tenemos la siguiente función, y vamos a obtener su transformada de Laplace.

Esta vez resolveremos de una forma más sencilla que es utilizando la siguiente definición que se acopla a la función con la que estamos trabajando.

Así que para poder aplicarla primero tenemos que sacar la transformada de F(t) de la función principal, dejando fuera la t.

Ya que tenemos F(s), lo que sigue es obtener su primer derivada.

Comparar derivada con resultado de Wolfram.

Y con la primer derivada ya podemos hacer uso de la definición que nos ayudará a llegar al resultado mucho más rápido. Así que sustituimos la primer derivada de F(s) y luego simplificamos.

Y por último tenemos formalmente el resultado de la transformada de Laplace de la función dada al inicio del problema 2.

Esta también se verificó desde Wolfram Alpha para corroborar que el resultado es correcto y se obtuvo de la misma página la gráfica de la función.

Comparar transformada con Wolfram

La entrada originalmente era solamente un documento que creé, pero luego pensé en ser un poco más especifico en unos pasos, por lo que el siguiente documento es la resolución de los problemas ya planteados, pero con explicación más simple y además esta disponible para descargar en PDF.

Transformada De Laplace

Páginas consultadas:
[1] Definición de la Transformada de Laplace