Modelado y Simulación de Sistemas Dinámicos
Reporte 2

Lo que decidí analizar para este tema es la lotería. Por lotería se puede referir a dos tipos diferentes de juego, el que se juega con cartones con diferentes figuras y que se marcan con algún tipo de fichas, y la que es mediante billetes y sorteos. Yo planteo mi análisis a este último, que en México es fácil relacionarlo con la Lotería Nacional o en un caso más cercano a nosotros, el Sorteo de la Siembra Cultural de la UANL.

Lotería

La lotería es un juego de azar que consiste en acertar los números de un billete previamente comprado con los números extraídos de una tómbola o un recipiente que garantice que sean extraídos al azar. Los números de dicho billete pueden ya estar preimpresos o bien ser elegidos por las propias personas. El número de aciertos pueden ser todos o parte de los número del billete. Al ganador o ganadores se les entrega un premio en dinero o especies. Por lo general si no hay ganadores para un sorteo el premio se acumula para el siguiente.

Ahora después de esta introducción veamos los conceptos vistos en clase.

Distribución discreta y continua

Discreta
Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable.

Discreto es aquel en el que las variables de estado cambian instantáneamente en puntos distintos en el tiempo. Se rigen por ecuaciones lógicas que expresan condiciones para que un evento ocurra. La simulación discreta, consiste en seguir los cambios en el estado del sistema resultando de cada uno de los eventos que se realizan. Por regla general este tipo de la simulación se realiza siguiendo la secuencia de ocurrencia de eventos, es decir avanzamos el tiempo de la simulación al tiempo de la ocurrencia del siguiente evento.

En los sistemas discretos, el flujo es tratado como un cierto número de enteros. Por ejemplo en el análisis de flujo de personas en el supermercado, involucra el tiempo que tarda una persona en las distancias aéreas del supermercado y el contador de salida de un sistema discreto, otros sistemas discretos son: el análisis de como el de tráfico de autobuses en una central camionera, e control de tráfico de: trenes en una estación ferroviaria, aviones en el aeropuerto, vehículos en una autopista, buques en el puerto.

Distribuciones de variable discreta:

Distribución binomial
Distribución binomial negativa
Distribución geométrica
Distribución de Bernoulli

Continua
Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo.

Un sistema continuo es aquel en el que las variables de estado cambian de manera continua en el tiempo. Por ejemplo si consideramos un aeroplano que se mueve por los aires, sus variables de estado como velocidad, posición, consumo de combustible, etc., cambian de manera continua en el tiempo.

En los sistemas continuos el flujo a través del sistema es, el de un medio continuo, por ejemplo el flujo de las partículas sólidas, moviéndose a velocidades relativas al tamaño de las partículas presentes en la corriente.

Distribuciones de variable continua:

Distribución ji cuadrada
Distribución exponencial
Distribución t de Student
Distribución normal
Distribución F

Ejemplo: Distribución exponencial

Planteamiento del problema

Ahora vamos a poner en claro la realidad de la lotería y la probabilidad de resultar ganador al comprar un solo boleto para el sorteo.

Tomaré como ejemplo de problema el 17º Sorteo de la Siembra Cultural en el cuál se han emitido 180000 boletos.

Para un sorteo la probabilidad de que te toque ser el ganador del primer premio, depende del número de boletos emitidos para ese juego, también importa la cantidad de series, pero en nuestro ejemplo no tenemos alguna cantidad de series y solo contabilizamos en una cantidad fija de boletos emitidos, mencionados anteriormente. En el sorteo se tiene un total de 110 ganadores, pero me enfoco solo para el que desea ganar el primer premio.

La probabilidad de que nos toque el primer premio con un solo boleto es de 1 entre 180 mil.

Ahora planteo el problema con una pregunta: ¿En cuántos sorteos tendría que participar para ganar el primer premio, si solo compro un boleto por sorteo?

Con esto podemos decir que de los modelos vistos el que más se asemeja es el de binomial negativa, porque quiero saber cuanto intentos tengo que hacer para ganar una vez el primer premio, y evidentemente el problema es un modelo discreto.

La siguiente formula nos dice cuantos intentos es necesario hacer hasta obtener el primer éxito.

Haré uso del ejemplo visto en clase para la binomial negativa, pero cambiando lo necesario para adecuarla al problema.

Bueno en realidad no fue como yo quería, en la gráfica anterior los puntos marcados con "+" es la simulación de la binomial negativa, teniendo a K = 1, porque quiero saber cuantas veces se intento para ganar por primera vez el primer premio y se repite mil veces. Además para obtener esta gráfica altere la probabilidad real, cambie que la cantidad de boletos a 90 mil y se compran 1000 boletos por sorteo, extremadamente exagerado.

Igualmente en la linea continua, tengo que K = 1, la probabilidad es la real (1 entre 180 mil), y podemos observar que podemos comprar 1000 boletos por cada sorteo toda la vida y seguramente jamas nos saquemos la casa bonita.

Ahora haré unos cambios, tomare en cuenta que solo se desea ganar cualquiera de los 110 premios posibles, y se compran 100 boletos por sorteo, y por si fuera poco resulta que solo se vendieron 120 mil boletos de los 180 mil.

Si esto pasará así, pasarían más de 100 sorteos para poderte ganar por lo menos una licuadora o en el mejor caso una casa con auto.

En la forma simulada puse 50 mil repeticiones, para lograr acercarlo a la que se hace con formula directa (linea continua roja).

¿Puede hacerse de forma continua?
Bueno tal y como planteo mi problema no, porque en mi problema no involucro términos de tiempo , por lo tanto no es un fenómeno continuo. Tal vez si cambiáramos el planteamiento y digamos que se desea conocer cuanto tiempo pasara para ganar la lotería, tomando en cuenta que cada sorteo se hace en un determinado tiempo, podríamos estar hablando de un problema continuo.

Conclusión
En la realidad, esperar a ganar el primer premio de la siembra cultural, comprando un solo boleto por sorteo, tiene una probabilidad cercana a cero, por lo que nos pasaríamos gastando dinero en boletos, esperando un milagro para poder ganar.

Programa

Para no quedarme sin hacer mi propio programa, haré algo sencillo. Mi problema es:
Se sacan 2 cartas al azar de una baraja normal de 52 cartas y deseamos que las dos sean de corazones, tenemos una probabilidad del 5.88% para que sea así. Y ahora cuantos intentos hay que hacer para obtener un éxito.

Lo trate de hacer con una simulación y cambiando las veces de repetición. Esta fue la gráfica que me arrojo con solo 100 repeticiones.