Modelo Matemático

Automatización y Control de Sistemas Dinámicos
Reporte 1

Para el primer reporte de la materia tenemos que modelar lo que se controlará en nuestro proyecto de equipo y tenemos que calcular la función de transferencia para la planta.

El proyecto en el que trabajaré con mi equipo es de ajuste de volumen. La idea es de controlar el volumen de sonido en una bocina o altavoz, de acuerdo al ruido que se encuentra en el entorno. Esto es que si tenemos reproduciendo una canción en un cuarto, y en determinado momento entra gente a platicar, el volumen del dispositivo que esta emitiendo el sonido de la canción, aumente paulatinamente para que se siga escuchando con igual fuerza la canción.

Un ejemplo práctico de donde se usa este tipo de sistemas, es en los automóviles, donde el volumen de la música dentro del auto aumenta cuando el motor emite mucho ruido, en cambio cuando este esta detenido, el volumen baja, esto con el fin de reducir problemas de audición para el conductor. También Apple, ya tiene patentado algo así para uso en iPods y Macbooks.

Circuito propuesto

La idea que tenemos para nuestro proyecto es que utilizando micrófono y altavoces de la computadora, como en la imagen anterior, podamos modelar el sistema, o que mediante un dispositivo externo conectado al equipo de sonido, logremos modificar el nivel de volumen. Aquí tengo un circuito suponiendo que hacemos uso de un Arduino como el equipo ya lo había propuesto.

Función de entrada

Como tenemos pensado, el dispositivo que nos dará una entrada al sistema será nuestro micrófono, que podríamos cambiar por un sensor que perciba niveles auditivos en decibeles, pero con un micrófono podemos medir cantidad de ruido, además de que en cuanto electrónica, es más barato comprar un micrófono que el medidor de decibeles.

La función que define la entrada de nuestro micrófono como sigue.

$Blv=Ri+L\dfrac {di} {dt}$
Donde:

$R$	es la resistencia
$i$	es la corriente
$Blv$	voltaje inducido
$L\dfrac {di} {dt}$	voltaje
$v =$	$\dfrac {dy} {dt}$

Función de salida

Y tenemos también la función de salida de nuestra planta, que en este caso pertenece a la función de un altavoz. Esta la obtuve de un PDF mencionado al final, y esta es la función base, ya que existen algunas derivadas de esta que son usadas para mejora de sonido y amplificación.

En la salida de nuestro sistema controlaremos el sonido o volumen de reproducción de alguna canción.

$Hs=\dfrac {\dfrac {s^{2}}{w^{2}}} {\dfrac {s^{2}}{w^{2}}+\dfrac {s}{wQ_{TSA}}+1}$
Donde:

$s$	variable de frecuencia compleja
$w$	frecuencia angular
$Q_{TSA}$	factor de calidad total

Función de transferencia

Sabemos que seguramente cuando analicemos en equipo la estructura de bloques que tendrá nuestra planta para la implementación física, podríamos agregar bloques intermedios que reduzcan el cambio repentino de volumen, pero por el momento solo considere las obvias y necesarias.

Por definición tenemos que la función de transferencia esta dada por la transformada de la entrada entre la transformada de la salida, y otra expresión también utilizada es la división de X entre Y.

$Gs =\dfrac {L[entrada]}{L[salida]} =\dfrac {Y(s)}{X(s)} $

Y sustituyendo nuestras funciones de entrada y salida nos queda lo siguiente, donde L significa la transformada de Laplace de la función contenida.

$Gs =\dfrac {L\left(Ri+L\dfrac {di} {dt}\right)}{L\left(\dfrac {\dfrac {s^{2}}{w^{2}}} {\dfrac {s^{2}}{w^{2}}+\dfrac {s}{wQ_{TSA}}+1}\right)}$

Entre platicas con mi equipo hemos pensado acerca de los datos que nos estará arrojando el micrófono, creemos que las funciones que estarán en nuestro sistema serán puramente lineales, dependiendo de como tengamos que manipular los datos de entrada.

Referencias:
Sonido y Acústica - INACAP
Modelo de un Micrófono
Funciones de transferencia - ITESCAM
Función de transferencia del sistema altavoz-caja