Sistemas Caóticos

Modelado y Simulación de Sistemas Dinámicos Reporte 4

Reporte que explica en qué sentido el fenómeno que estás estudiando tiene características de un sistema caótico y qué implicaciones tiene esto en su modelado.

Programa que contiene uno o los dos de los elementos siguientes: (a) análisis de datos reales que indica que se trata de un señal caótico (típicamente una serie de tiempo, pero podría ser otra cosa) y (b) sistema de ecuaciones u otro modelo "artificial" para el fenómeno que da lugar a cáos - ambos (a) y (b) incluyendo código fuente y alguna ilustración de lo que se obtuvo.

Introducción

De lo que trata en pocas palabras la teoría del caos, es que ciertos tipos de sistemas dinámicos son muy sensibles a las variaciones en las condiciones o variables iniciales de un modelo.

Estas pequeñas modificaciones al inicio, provocan diferencias muy significativas y totalmente distintas en un comportamiento futuro, lo que complica la predicción a largo plazo.

Y para no empezar solamente a copiar texto de otras fuentes, y como siempre ayudan de mucho, encontré un vídeo excelente donde explican qué es el caos, y dónde lo podemos encontrar.

Algo de lo que puedo resumir con mis palabras acerca de este vídeo y el concepto de teoría del caos, es que en la naturaleza existen muchos modelos cuantitativos, donde la medición del tiempo, o el momento en el que pasa cierto evento, es muy importante y fundamental para todo el sistema.

Los sistemas en los que el tiempo es fundamental, son los que llamamos sistemas dinámicos, por ejemplo el clima o predicción del tiempo es un modelo donde interviene el tiempo, y es completamente caótico, porque solo unos pequeños cambios en condiciones iniciales de un sistema de pronóstico del tiempo, pueden hacer surgir condiciones atmosféricas totalmente distintas.

Un modelo matemático es muy complicado porque las mediciones que el investigador hace acerca del estado inicial de un modelo, nunca tiene una medición perfecta, y cambios completamente insignificantes pueden producir un resultado totalmente distintos, a esto le llamamos caos.

Hablar de ejemplos no caóticos son también muy buenos para entender que sí lo es.

Por ejemplos tenemos el péndulo o el lanzamiento de un proyectil. Lo que nos hace decir con seguridad que estos no son sistemas caóticos, mencionando el ejemplo del proyectil, es porque si una de las variables que están involucradas, como el ángulo de lanzamiento, es alterado muy poco, el proyectil aun caería en una zona totalmente cercana al punto al que se quisiera lanzar. En cambio en el sistema caótico esto no pasaría.

Hay algo llamado Familia Logística, que sirve para evaluar un modelo a lo largo del tiempo, como el crecimiento de población, y algo de ello también es aplicado al tema de la economía. En una entrada anterior hice algo acerca de la familia logística para el crecimiento de población.

Análisis de cambio monetario

La siguiente imagen puede ser un tanto cómica, por la relación que hacemos del concepto del caos y el tan conocido efecto mariposa, pero nos da una idea de la realidad del problema, porque a lo que se refiere en el aleteo de la mariposa puede ser cambiado por algún evento simple que este involucrado con los cambios de la economía, como el de la venta de algún producto en un país, lo cual provoque que en otro resulte la caída de la bolsa, cosas que podrían parecer no asociarse, pero sin tal vez puede ser verdadero.

En la siguiente página encontré algunos datos que me sirvieron de base para analizar este caso. Los datos dan como resultado una gráfica de Dolar contra Euro, y aquí esta tal y como en la página.

Economic Time Series

Cuando un sistema es caótico su comportamiento es altamente complejo e impredecible a largo plazo debido a que cualquier pequeña modificación se amplifica por el propio sistema. Sin embargo, a corto plazo, se puede predecir.

Para demostrar que a corto plazo un sistema como el presentado puede ser predecible, tome un modelo cualquiera para analizar los datos.

La función dada para este modelo es f(x) = 4x^3 - 3x, y lo que hice para demostrar que es un ejemplo de modelo caótico fue crear un programa que me diera los valores obtenidos para ochenta iteraciones y después poder graficar con dos diferentes valores iniciales de x.

El programa usado fue el siguiente:


El resultado para a = 2 es:

Y el resultado para a = 2.00001 es:

Lo que se puede decir de las dos gráficas es que después de cierta iteración empiezan a haber cambios muy drásticos en comparación de una con otra, sin embargo en un inicio parecían ser iguales.

Para ver mucho mejor el cambio de una con otra, hice un programa que me devolviera en un archivo la diferencia de los valores dados por las dos gráficas y luego grafique para analizar.

Este fue el programa para comparar:


Y obtuve lo siguiente:

Como se puede notar, en las primeras iteraciones no hay cambio significativo en los valores, pero llega al punto donde se disparan valores muy diferentes.

Con esto llego a la conclusión de que es posible predecir a corto plazo los valores para un modelo. Es decir, que para el caso concreto de una serie de datos en economía, si se logra saber a que modelo se acerca más, sería posible estimar los valores siguientes, pero resultaría malo para cuando se desea saber más a futuro.

Modelo no lineal

En economía, para caracterizar y predecir el comportamiento de las series temporales, tradicionalmente se utilizan modelos lineales, pero suelen producir comportamientos muy simples que obligan a introducir perturbaciones aleatorias para que resulten más reales. Este es el motivo que ha llevado al equipo a optar por modelos no lineales y, en particular, por los caóticos.

Estas técnicas matemáticas tienen la propiedad de mostrar comportamientos muy diferentes a lo largo del tiempo ante variaciones muy pequeñas de las condiciones iniciales.

Para este caso observe trabajos parecidos como el de el siguiente pdf, donde usan una función logística.

Chaos Models in Economics

Una función logística como se menciona en el vídeo del inicio, es muy utilizada para comprender los cambios caóticos en economía, por eso basado en lo que ya había probado en el caso de población, hice otro pequeño programa para obtener los datos con la función y después graficar con gnuplot.


Resultado para a = 0.018

Resultado para a = 0.019

Entonces la mayoría de los casos que se presentan en vida real en la economía suelen ser de tipo caótico, ya que aunque se conocen los parámetros iniciales cercanos al real para un cierto modelo, es difícil conocer el comportamiento a largo plazo, y solo como ya mencione, se podría conocer a un corto plazo, pero esto no es de gran ayuda en economía, porque lo que realmente se necesita es conocer que pasará en meses y no días.

Bibliografía
Teoría del Caos
Caos en el mercado
Caos en series de tiempo