Criterio de Estabilidad de Routh

Automatización y Control de Sistemas Dinámicos
Laboratorio: Entrada 4

Para esta cuarta entrega del laboratorio, seleccioné un problema del Capítulo 5, Análisis de la Respuesta Transitoria y Estacionaria, y es el siguiente:

Considere el sistema en lazo cerrado que se muestra en la Figura 5.88. Determine el rango de estabilidad para K. Suponga que K > 0.

Figura 5.88. Sistema de lazo cerrado.

Para resolver esto es necesario utilizar el Criterio de estabilidad de Routh, el cual dice si existen o no raíces inestables en una ecuación polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. [1]

Cuando se aplica el criterio a un sistema de control, la información sobre la estabilidad absoluta se obtiene directamente de los coeficientes de la ecuación característica. [2]

Debemos simplificar el diagrama de bloques del sistema, para poder obtener después la ecuación característica.

Primero simplificamos los bloques en serie.

Luego quitamos la retroalimentación en el sistema mediante álgebra de bloques, que ya se ha aplicado en tareas anteriores. Nota: Aunque el punto de suma tenga un signo negativo, no significa que la suma en el denominador tenga que ser negativa, esto esta dado por las reglas de álgebra de bloques.

Con esto obtenemos nuestra función de transferencia para el sistema de lazo cerrado.

$\dfrac {C(s)}{R(s)} = \dfrac {K(s - 2)}{(s + 1)(s^2 + 6s + 25) + K(s - 2)}$

Multiplicamos los factores del denominador.

$\dfrac {C(s)}{R(s)} = \dfrac {K(s - 2)}{s^3 + 7s^2 + 31s + 25 + Ks - 2K}$

Agrupamos los coeficientes que tienen "s".

$\dfrac {C(s)}{R(s)} = \dfrac {K(s - 2)}{s^3 + 7s^2 + (31 + K)s + 25 - 2K}$

Para estabilidad, el denominador de la ecuación anterior es un polinomio estable, al tener todos los coeficientes de la variable "s" con signo positivo y entonces tenemos nuestra Ecuación característica.

$s^3 + 7s^2 + (31 + K)s + (25 - 2K) = 0$

La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan signo positivo. [3]

Ahora, si todos los coeficientes son positivos, ordenar los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el arreglo siguiente.

Si:

$a_0s^3 + a_1s^2 + a_2s + a_3 = 0$

La tabla queda como sigue:

$s^3$	$a_0$	$a_2$
$s^2$	$a_1$	$a_3$
$s^1$	$\dfrac {a_1a_2-a_0a_3}{a_1}$	$0$
$s^0$	$a_3$

Para nuestro caso particular el arreglo de coeficientes de Routh es el siguiente:

$s^3$	$1$	$31+K$
$s^2$	$7$	$25-2K$
$s^1$	$\dfrac {192+9K}{7}$	$0$
$s^0$	$25-2K$

Paso intermedio para $s^1$:

$\dfrac {(217+7K) - (25-2K)}{7} = \dfrac {192+9K}{7}$

Como no tuvimos cambio de signo en la segunda columna, significa que no hay raíces con partes reales positivas. En caso contrario el sistema sería inestable.

Entonces se deberán cumplir las siguientes condiciones:

$\dfrac {192+9K}{7} > 0$
$25-2K > 0$

Veamos con la primera:

$\dfrac {192+9K}{7} > 0$
$192+9K > 0$
$9K > -192$
$K > -21.33$

Como el enunciado del problema da una condición inicial de que $K > 0$, se ignora este resultado.

Veamos con el siguiente:

$25-2K > 0$
$-2K > -25$
$K < 12.5$

Tenemos que K es un valor positivo, pero encontramos una restricción a no ser mayor a 12.5, de lo contrario provocaríamos un sistema inestable.

Asumiendo que $K > 0$, tenemos que el rango de estabilidad para el sistema es:

$12.5 > K > 0$

Y lo que quiere decir es que, para que el sistema sea estable, el valor de K debe encontrarse entre 0 y 12.5.

Fuentes consultadas:
[1] y [2] - Página 275, Ingeniería de Control Moderna, 4ta. Edición, Katsuhiko Ogata.
[3] - Criterios de Estabilidad