Estabilidad

Automatización y Control de Sistemas Dinámicos
Programa 1

Para esta semana la tarea a realizar fue un programa que determinara si una función de transferencia, en este caso la de nuestro proyecto para la clase, se considera estable o inestable, de acuerdo a análisis mediante octave.

El proyecto para esta clase trata de modular el nivel de sonido en un altavoz, que depende del ruido en la habitación.

Uno de los métodos que use para analizar si mi función de transferencia tiene estabilidad o no fue el Criterio de Routh-Hurvitz, pero debido a que octave no cuenta con un paquete especifico para obtener la tabla de valores que resulta de este criterio, use un modulo de código libre en la siguiente página.

Modulo de criterio Routh-Hurvitz

Simplemente lo que hace este modulo es regresar los cuantos cambios de signo hubo en la primer columna de la tabla de Routh, y la tabla en sí. La cual es de gran ayuda para el análisis de estabilidad de esta tarea.

Mi código es el que muestro enseguida. Resumiendo lo que hace, al inicio se inicia la función de transferencia predeterminada, que es la que corresponde al proyecto en el que trabajo, según lo que se entrego en los reportes anteriores, también es posible mandar una función de transferencia cualquiera para analizar otras funciones.

Luego mediante el análisis de las raíces y el criterio de Routh, se determina si es inestable o no, y se manda una impresión. Al final se crean algunas gráficas que explico al final.


Cuando le mandamos como parámetro el valor de "None", toma la función de transferencia predeterminada, podemos ver la ejecución de este código en seguida.

octave:1> estabilidad('None')
****************************
* Funcion de transferencia *
****************************

Transfer function 'funtrans' from input 'u1' to output ...

      0.001358 s^2 + 5.5 s + 11
 y1:  -------------------------
       0.0001235 s^3 + s^2 + 1 

Continuous-time model.
****************************
*         Analisis         *
****************************
Raices en el denominador:
r =

  -8.1000e+03 + 0.0000e+00i
   6.1728e-05 + 1.0000e+00i
   6.1728e-05 - 1.0000e+00i

* Analizando las RAICES *
Hay partes reales positivas en las raices.
Por lo tanto el sistema es INESTABLE
* Criterio de Routh-Hurvitz *
tabla =

   0.00012   0.00000
   1.00000   1.00000
  -0.00012   0.00000
   1.00000   0.00000

Hay 2 cambios de signo.
Por lo tanto el sistema es INESTABLE

Lo que nos arroja en una de las gráficas es la función escalón de la función de transferencia dada.

También obtenemos el diagrama de Bode, que según la segunda gráfica indica que la función llega a un punto a donde tiende a infinito, lo cual nos dice que el sistema es inestable, ya que para poder ser estable, debería de haber estado acotado entre un rango especifico de valores, en cambio si graficaramos cada vez en un rango de frecuencia mayor, solo veríamos que la línea sigue subiendo.

Por último use lsim para ingresar "ruido" a la función de transferencia en un tiempo determinado. Puse valores obtenidos con la función de seno para ver que efecto causa.

Podemos ver nuevamente una función que sigue en el infinito conforme avanza en el tiempo, igual que la deducción anterior, se puede decir que el sistema es inestable.

Justificación de por qué es inestable el sistema
El sistema modula el volumen de los altavoces dependiendo de si existe ruido en la sala o no, pensemos en que inicialmente se reproduce música a cierto volumen, entonces si el sistema detecta ruido y en base a eso aumenta el volumen, seguramente su propia salida este entrando al sistema como ruido y provoque el aumento en volumen, por eso en las gráficas podemos ver un incremento en la amplitud.

Referencias:
Guardar gráficos de octave
Funciones del paquete control en Octave