Diagrama de Bode

Automatización y Control de Sistemas Dinámicos
Laboratorio: Entrada 5

Para esta entrega seleccioné un problema del Capítulo 8, Análisis de la Respuesta en Frecuencia, y es el siguiente.

Dibuje el diagrama de Bode de

$G(s) = \dfrac {10(s^2+0.4s+1)}{s(s^2+0.8s+9)}$

Veamos la definición de un diagrama de Bode.

¿Qué es un diagrama de Bode?

Un Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode. [1]

El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia en escala logarítmica. [2]

El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. [3]

Diagrama de Bode en Octave

Octave ya tiene una función para dibujar los diagramas de Bode con unas cuantas líneas de código, solo es necesario tener instalado el paquete control, y tomar los datos de la función de transferencia del problema.

$G(s)$ es una función de transferencia, y se define de la siguiente forma:

$G(s) = \dfrac {num(s)}{den(s)}$

Para poder trabajar con esa función en octave, necesitamos multiplicar los factores en el numerador y el denominador.

$G(s) = \dfrac {10(s^2+0.4s+1)}{s(s^2+0.8s+9)}$

$G(s) = \dfrac {10s^2+4s+10} {s^3+0.8s^2+9s}$

En Octave podemos escribir los coeficientes del numerador y denominador como vectores, y después usarlos en la función bode.

octave:1> num = [0 10 4 10];
octave:2> den = [1 0.8 9 0];

Necesitamos pasar el numerador y denominador a una función de transferencia.

octave:3> sys = tf(num, den)

Utilizando la orden bode(sys), obtendremos los diagramas de Bode.

octave:4> bode(sys)

Como podemos observar en la gráfica generada, tenemos dos trazos diferentes, el primero es el diagrama logarítmico del módulo de una función de transferencia, y el segundo es un diagrama del ángulo de fase.

Ambos diagramas en la gráfica están representados en función de la frecuencia dada en radianes y esta en escala logarítmica.

En el primer diagrama podemos observar que la magnitud esta también en una escala logarítmica, debido a que la medición se hace en decibeles, y se sabe que los decibeles ya están en una escala a logarítmica.

Programa completo:

octave:1> num = [0 10 4 10];
octave:2> den = [1 0.8 9 0];
octave:3> sys = tf(num, den)

Transfer function 'sys' from input 'u1' to output ...

       10 s^2 + 4 s + 10 
 y1:  -------------------
      s^3 + 0.8 s^2 + 9 s

Continuous-time model.
octave:4> bode(sys)
octave:5>

Podemos cambiar el rango de frecuencia para el diagrama de Bode.

octave:5> w = logspace(-2, 4);
octave:6> bode(sys, w)

Como vemos en la imagen, podemos notar que el rango de la frecuencia dada en radianes fue cambiada de $[10^{-1} : 10^2]$ a $[10^{-2} : 10^4]$, y nos permite analizar de otra forma la función de transferencia.

Fuentes consultadas:
Página 592, Ingeniería de Control Moderna, 4ta. Edición, Katsuhiko Ogata.
[1:3] - Definición de Diagrama de Bode
Funciones Bode y Nyquist - Octave Control
Dibujar el Diagrama de Bode